Les projections cartographiques du ciel

Comment représenter sur un plan ce que nous voyons dans le ciel ?

Pour une petite surface, il n'y a pas de diffultés mais le problème se pose pour tracer le ciel entier.

Tout comme pour la représentation de la sphère terrestre, la représentation du ciel utilisera les mêmes techniques : les projections.

 

Qu'est ce qu'une projection ?

Au sens géométrique du terme, c'est projeter à partir d'un foyer des points de l'espace sur un plan.

C'est cette technique qui est à la base de la représentation.

Mais representer une sphère sur un plan est impossible. L'image ne sera pas fidèle.

Différentes techniques permettent

- soit de respecter la forme du dessin, cette projection sera appelée projection conforme

- soit de respecter les surfaces de toutes les composantes de l'objet, cette projection sera appelée projection équivalente.

 

Position du plan et du foyer par rapport aux objets

La position du foyer a une grande importance. Elle crée des images différentes .

La position du plan a une importance moindre. Son déplacement crée un agrandissement ou une réduction de l'image.

Le ciel

Le ciel est déjà pour nous une projection. Nous projetons sur une sphère les différentes étoiles.

Le plus dur à présent est de projeter cette sphère sur un plan.

La projection de la sphère céleste sur un plan était déjà utilisée pour la construction des astrolabes.

Pour effectuer une projection d'une façon mathématique, on utilisera les coordonnées des astres.

- coordonnées équatoriales ascension droite et déclinaison

- coordonnées horizontales azimut et hauteur

 

Les différentes projections

 Du point de vue géométrique, il existe 3 grands types de projection :

- la projection azimutale

- la projection cylindrique

- la projection conique

mais bien souvent les cartes ne respectent pas la projection purement géométrique et sont adaptées au besoin en faisant intervenir des coefficients et des formules diverses.

 

Afin de ne pas embrouiller le lecteur, ne figure sur cette page que les démonstrations et les calculs accessibles à un élève de 1ère.

Seules les constellations visibles à Lille ont été représentées.

A) La projection azimutale

1)Plan de projection tangent au pôle

 

 

  Comme on regarde depuis l'intérieur de la sphère, il faut aussi inverser le plan et changer X en -X.

En fonction de la position de F, on obtient des projections différentes

a) la projection gnomonique

F est au centre, k=0

Cette projection n'est ni conforme, ni équivalente.

b) la projection stéréographique

F est sur la phère, k=1

C'est une projection conforme. Les formes sont respectées.

Cette projection est fréquemment utilisée pour créer les miniciels .

Voici la même projection avec les coordonnées horizontales pour le 13 août 2005 à 21hTU à Lille

Les cercles noirs correspondent aux hauteurs par rapport à l'horizon.

Les constellations sous l'horizon ne sont bien sûr pas visibles.

Les lignes violettes correspondent aux azimuts. Le centre est le zénith.

C'est le type de carte du ciel fournie à l'occasion de la Nuit des étoiles.

c) la projection orthographique

F est à l'infini, k tend vers l'infini

Cette projection n'est ni conforme , ni équivalente.

d) la projection équidistante de Guillaume Postel

Ce n'est pas une projection géométrique (pas de foyer).

On reporte sur le plan la longueur de la portion de méridien entre le pôle et l'objet.

Cette projection fait apparaître les distances exactes depuis le point de tangence.

Cette projection est également très utilisée pour réaliser les miniciels.

Nota : Pour dessiner l'horizon de ce miniciel voir la page horizon

Remarque : Pour la partie supérieure à 0°, elle ressemble à une projection ayant k=1,78

J'ai calculé cet valeur de k par approche pour avoir la représentation de r = f(d) la plus linéaire entre 0° et 90°.

e) La projection azimutale équivalente de Lambert

2) point de tangence à l'équateur

Pour changer, utilisons les coordonnées horizontales et une autre méthode géométrique.

Attention, l'azimut est rétrograde.

 

 a) Projection gnomonique. Cette projection est peu utilisée

b) la projection stéréographique

c) la projection orthogonale

3) plan tangent en un point quelconque de la sphère.

Le calcul de la projection sur un plan tangent en un point quelconque de la sphère utilise les propriétés des triangles sphériques.

Ce calcul fait l'objet de la page annexe : azimut quelconque. On y retrouve après simplification les différentes formules démontrées ci-dessous.

a) Projection gnomonique k=0

Pour a0=-0,9 et d0=0,5

b) projection stéréographique k=1

En raison du respect des formes des constellations, c'est une des projections les plus utilisées (miniciel,Guide du Ciel de G. Cannat, carte du ciel pour la nuit des étoiles offerte par Ciel & Espace,...)

c) projection orthogonale k tend vers l'infini

Pour d0=1 et a0=0

 

   

B) la projection cylindrique

 

Le plan est enroulé autour de la sphère durant la projection.

 

a) k=0 Cette projection, appelée aussi cylindrique perspective, est peu utilisée

b) k=1 c'est la projection cylindrique stéréographique

 

c) la projection orthogonale de Lambert : k tend vers l'infini.

d) la projection de Mercator

C'est une projection conforme mais ce n'est pas une projection au sens géométrique.

Mercator a créé d'une façon empirique une carte terrestre tel qu'un tracé rectiligne sur la carte était suivi par les marins en gardant toujours le même cap (loxodromie).

Son équation n'a été établie que plus tard par Halley avec l'apparition du calcul intégral.

Les équations utilisées pour le graphique ci-dessus sont :

e) la projection équidistante

Y= d

X=-a

 f) les projections transverses

La projection ne se fait plus sur un cylindre tangent à l'équateur mais sur un cylindre tangent à un grand cercle quelconque de la sphère.

Pour établir la formule de la projection, on transforme les coordonnées équatoriales en coordonnées propres au cercle.

Ces calculs font l'objet de la page projection transverse

Puis on applique la formule établie précédemment.

On obtient ceci pour un cercle incliné de 23,44° avec k=1

Pour un cercle vertical, l'équation se simplifie et on obtient :

 C) les projections coniques

Ce type de projection n'est pas souvent utilisé en astronomie

 

 

 Voilà une projection conique :

D) Les autres projections

Elles sont obtenues par calcul.

Par exemple voici la projection établie par les équations suivantes.

X= - a cos d (pour a > p, on fait (2p-a) cos d)

Y = d

C'est la projection sinusoïdale

Cette projection semble être utilisée dans le logiciel "Carte du ciel" pour la vision du ciel en coordonnées horizontales.

 

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